Лекции 1 курса

Общие лекции

1 семестр

2 семестр

Высшая алгебра

Лекции. Усиленный поток

Осенний семестр

Дата Содержание Видео Плэйлист
06.09.2021 Понятие вектора и линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты. Лекция 1 Видео
08.09.2021 Компонента вектора по оси. Проекция вектора на ось. Прямоугольные декартовы системы координат. Ориентация пространства. Лекция 2 Видео
12.09.2021 Скалярное произведение векторов. Определители второго и третьего порядков. Понятие о псевдовекторе. Векторное произведение векторов: определение и примеры. Лекция 3 Видео
13.09.2021 Свойства векторного произведения векторов. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение. Лекция 4 Видео
30.09.2021 Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках на осях. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости. Плоскость в пространстве: общее уравнение. Лекция 5 Видео
03.10.2021 Уравнение плоскости в отрезках на осях. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Прямая в пространстве: общие, канонические и параметрические уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Лекция 6 Видео
14.10.2021 Окружность и эллипс. Гипербола. Лекция 7 Видео
17.10.2021 Парабола. Преобразование декартовых координат на плоскости. Преобразование общего уравнения второй степени на плоскости. Лекция 8 Видео
23.10.2021 Преобразование декартовых ортогональных координат в трехмерном пространстве. Раздел 2. Линейная алгебра. Действия над матрицами. Лекция 9 Видео
29.10.2021
Свойства действий над матрицами.
Квадратные матрицы.
Лекция 9 (окончание) Видео
16.11.2020 Квадратные матрицы. След. Одностолбцовые матрицы. Координатные пространства. Линейные отображения. Лекция 10 Видео
20.11.2020 Перестановки и подстановки. Определители: определение и свойства. Лекция 11 Видео
23.11.2020 Миноры и алгебраические дополнения. Примеры вычисления определителей. Теорема об определителе произведения матриц. Лекция 12 Видео
27.11.2020 Обратная матрица. Формулы Крамера. Лекция 13 Видео
30.11.2020 Ранг прямоугольной матрицы. Теорема о ранге. Лекция 14 Видео
04.12.2020 Системы линейных алгебраических уравнений. Общие свойства. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Лекция 15 Видео
07.12.2020 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Квадратные матрицы: характеристический многочлен и спектр. Лекция 16 Видео
11.12.2020 Функции от квадратных матриц. Тождество Кэли. Подобие и диагонализуемость. Лекция 17 Видео
14.12.2020 Специальные классы матриц. Лекция 18 Видео

Весенний семестр

Учебно-методическое пособие ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА II СЕМЕСТР

Выпуск 1, Выпуск 2, Выпуск 3, Выпуск 4, Выпуск 5

Дата Содержание Видео Плэйлист
11.02.2021 Множества с бинарной операцией. Нейтральный элемент. Обратный элемент. Группы, кольца. Лекция 1 Видео
15.02.2021 Поля. Понятие изоморфизма. Изоморфизм групп и колец. Аксиоматика линейного пространства. Примеры. Лекция 2 Видео
18.02.2021 Изоморфизм линейных пространств. Понятия линейной зависимости и линейной независимости. Базисы, координаты. Размерность линейного пространства. Изоморфизм конечномерных линейных пространств. Лекция 3 Видео
25.02.2021 Подпространства. Линейная оболочка множества. Пересечение подпространств. Линейная сумма подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о размерности линейной суммы подпространств. Лекция 4 Видео
01.03.2021 Прямое дополнение подпространства. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах. Определение и примеры. Действия над операторами. Пространство линейных операторов из E в F. Композиция операторов и ее свойства. Кольцо линейных операторов в пространстве E. Матричное изображение линейных операторов. Изоморфизм пространства операторов и пространства матриц. Изображающая матрица композиции операторов. Примеры изображающих матриц. Лекция 5 Видео
08.03.2021 Изоморфизм кольца операторов в пространстве E и кольца матриц. Образ и ранг линейного оператора. Ядро линейного оператора. Обратный оператор. Типы линейных отображений. Альтернатива Фредгольма. Лекция 6 Видео
19.03.2020 Преобразование базисов, координат и изображающих матриц линейных операторов. Определитель и след линейного оператора. Ориентация в вещественном конечномерном линейном пространстве. Характеристический многочлен и спектр линейного оператора. Алгебраические кратности собственных значений. Лекция 7 Видео
23.03.2020 Собственные элементы и собственные подпространства линейных операторов. Геометрические кратности собственных значений. Теорема об алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Прямая сумма собственных подпространств. Критерий существования собственного базиса. Диагонализуемые операторы. Диагонализуемые матрицы. Лекция 8 Видео
26.03.2020 Функции от операторов. Тождество Кэли. Лекция 9 Видео
02.04.2020 Линейные формы. Двойственное пространство. Двойственные базисы. Второе двойственное пространство. Преобразования двойственных базисов и координат в E’. Преобразования изображающих матриц операторов из E’ в E’, из E в E’, из E’ в E. Лекция 10 Видео Часть 1 Часть 2
06.04.2020 Билинейные формы. Определение, примеры. Пространство билинейных форм. Оператор билинейной формы. Изображающая матрица билинейной формы. Преобразование изображающих матриц билинейной формы. Ядро и ранг билинейной формы. Транспонирование билинейной формы. Симметричные и антисимметричные билинейные формы. Лекция 11 Видео
09.04.2020 Квадратичная форма. Приведение симметричной билинейной формы к простейшему виду (приведение квадратичной формы к сумме квадратов). Лекция 12 Видео
13.04.2020 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов: вещественный случай. Закон инерции квадратичных форм. Вещественные евклидовы пространства. Скалярное произведение векторов. Ортогональность. Норма вектора. Ортонормированные базисы. Неравенство Коши. Угол между векторами. Свойства нормы, неравенство треугольника. Процесс ортогонализации. Лекция 13 Видео
15.04.2020 Ортогональная сумма подпространств в вещественном евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение. Изоморфизм вещественных евклидовых пространств. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Билинейная форма оператора. Взаимно-однозначное соответствие операторов и билинейных форм. Сопряженный (транспонированный) оператор. Симметричные и антисимметричные операторы. Изометрические операторы. Лекция 14 Видео
20.04.2020 Преобразование ортонормированных базисов в вещественном евклидовом пространстве. Ортопроекторы. Полуторалинейные формы в комплексном линейном пространстве. Эрмитовы формы. Комплексное евклидово пространство. Скалярное произведение векторов. Ортогональность. Норма вектора. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации. Неравенство Коши. Свойства нормы, неравенство треугольника. Лекция 15 Видео
22.04.2020 Ортогональная сумма подпространств в комплексном евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение. Изоморфизм комплексных евклидовых пространств. Линейные операторы в комплексном евклидовом пространстве. Полуторалинейная форма оператора. Взаимно-однозначное соответствие операторов и полуторалинейных форм. Сопряженный оператор. Теорема об образе оператора и ядре сопряженного оператора. Ортопроекторы. Самосопряженные операторы. Лекция 16 Видео
27.04.2020 Унитарные операторы. Преобразование ортонормированных базисов в комплексном евклидовом пространстве. Диагонализация самосопряженного оператора в комплексном евклидовом пространстве. Диагонализация симметричного оператора в вещественном евклидовом пространстве. Спектральное разложение самосопряженного оператора. Лекция 17 Видео
29.04.2020 Диагонализация унитарного оператора в комплексном евклидовом пространстве. Диагонализация эрмитовых матриц. Диагонализация вещественных симметричных матриц. Диагонализация унитарных матриц. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов ортогональным преобразованием. Применение к классификации поверхностей второго порядка. Лекция 18 Видео
07.05.2020 Положительно определенные операторы в комплексном евклидовом пространстве. Обобщенная задача на собственные значения. Аналогичная задача в вещественном евклидовом пространстве. Приведение эрмитовой формы к простейшему виду (в комплексном евклидовом пространстве). Одновременное приведение двух эрмитовых форм к простейшему виду. Вещественный случай: одновременное приведение двух симметричных форм к простейшему виду. Понятие о жордановой форме. Формулировка теоремы о жордановой форме. Лекция 19 Видео
11.05.2020 Вспомогательные сведения: взаимно-простые многочлены, лемма о нильпотентном операторе. Корневые подпространства линейного оператора. Теорема разложения по корневым подпространствам. Лекция 20 Видео
14.05.2020 Жорданова форма для нильпотентного оператора. Завершение доказательства теоремы о жордановой форме. Лекция 21 Видео
Вопросы к экзамену

Лекции. Основной поток

Дата Конспект лекции
19.03.2020 Лекция 1 Конспект
23.03.2020 Лекция 2 Конспект
26.03.2020 Лекция 3 Конспект
30.03.2020 Лекция 4 Конспект
02.04.2020 Лекция 5 Конспект

Лекции. Общий поток

Дата Конспект лекции
19.03.2020 Лекция 1 Конспект
23.03.2020 Лекция 2 Конспект
26.03.2020 Лекция 3 Конспект
30.03.2020 Лекция 4 Конспект
02.04.2020 Лекция 5 Конспект
09.04.2020 Лекция 6 Конспект
13.04.2020 Лекция 7 Конспект
16.04.2020 Лекция 8 Конспект
23.04.2020 Лекция 9 Конспект
30.04.2020 Лекция 10 Конспект
07.05.2020 Лекция 11 Конспект
11.05.2020 Лекция 12 Конспект
14.05.2020 Лекция 13 Конспект Поверхности