Лекции 4 курса

Общие лекции

1 семестр

Спецкурсы

1 семестр

  • Линейные операторы в гильбертовом пространстве — лектор М.М.Фаддеев
  • Теория групп — лектор А.М.Будылин
  • Асимптотические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений — лектор М.В.Перель
  • Семинар по методам математической физики (спецсеминар) — С.Б.Колоницкий

2 семестр

Пространства Соболева и их приложения

Видеозаписи лекций

Дата Содержание Видео (Плэйлист)
12.02.2021 Введение. Предварительные сведения. Усреднение функций. Аналог основной леммы вариационного исчисления.
Обобщенные производные: определение и свойства.
Лекция 1 Видео
15.02.2021 Второе определение обобщенных производных. Замкнутость операции обобщенного дифференцирования. Обобщенная производная произведения функций. Замена переменных. Равенство нулю для производных. Свойство абсолютной непрерывности. Примеры обобщенных производных. Лекция 2 Видео
19.02.2021 Пространства Соболева \(W_p^l(\Omega)\) и \(W_p^l(\Omega)\) «с ноликом». Определение и свойства. Пространство \(W_p^l(\mathbb{R}^n)\). Неравенство Фридрихса. Лекция 3 Видео
22.02.2021 Случай звездных областей. Плотность множества гладких функций в \(W_p^l(\Omega)\). Теоремы продолжения. Лекция 4 Видео
26.02.2021 Теоремы вложения: введение. Интегральные операторы в \(L_p(\Omega)\). Условия ограниченности и компактности в разных функциональных пространствах (леммы 1-5). Лекция 5 Видео
01.03.2021 Интегральное представление функций из класса \(W_p^1(\Omega)\) «с ноликом». Теоремы вложения для \(W_p^1(\Omega)\) «с ноликом».
Теоремы вложения для \(W_p^1(\Omega)\). Примеры и комментарии.
Лекция 6 Видео
05.03.2021 Теоремы вложения для \(W_p^1(\Omega)\): примеры и комментарии. Теоремы вложения для \(W_p^l(\Omega)\). Лекция 7 Видео
08.03.2021 Эквивалентные нормировки в \(W_p^l(\Omega)\). «Неравенства с \(\varepsilon\)». Пространства Соболева \(H^s(\mathbb{R}^n)\): предварительные сведения. Лекция 8 Видео
12.03.2021 Пространства \(H^s(\mathbb{R}^n)\): определение и свойства. Теорема о плотности множества финитных гладких функций в \(H^s(\mathbb{R}^n)\). Дуализм \(H^s(\mathbb{R}^n)\) и \(H^{-s}(\mathbb{R}^n)\). Лекция 9 Видео
19.03.2021 Теорема об эквивалентной норме в \(H^s(\mathbb{R}^n)\) при дробном \(s>0\). «Неравенства с \(\varepsilon\)». Точные теоремы о следах. Лекция 10 Видео
21.03.2020 Теоремы о следах для класса \(H^s(\mathbb{R}^n)\). Теоремы о продолжении с \(\mathbb{R}^{n-1}\) в \(\mathbb{R}^n\). Лекция 11. Часть 1 Видео
21.03.2020 Пространства \(H^s(\Omega)\); два подхода к их определению. Теоремы о следах. Характеристика пространства \(H^l(\Omega)\) «с ноликом». Лекция 11. Часть 2 Видео
28.03.2020 Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Свойства компактных операторов. Задача Дирихле со спектральным параметром. Разложение по собственным функциям. Вариационный принцип для нахождения собственных значений. Лекция 12 Видео
30.03.2020 Задача Дирихле для равномерно эллиптического уравнения второго порядка. Энергетическое неравенство. Исследование разрешимости в классе \(H^1(\Omega)\). Лекция 13 Видео
03.04.2020 Задача Дирихле для равномерно эллиптического уравнения второго порядка. Расположение спектра. Разложение по собственным функциям симметричных эллиптических операторов. Вариационный принцип для нахождения собственных значений. Задача Неймана и третья краевая задача. Лекция 14 Видео
06.04.2020 Повышение гладкости решений эллиптических уравнений внутри области. Лекция 15 Видео
10.04.2020 Повышение гладкости решения задачи Дирихле вплоть до границы. Теорема о разрешимости задачи Дирихле в классе \(H^2(\Omega)\). Лекция 16 Видео
13.04.2020 Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности. Разрешимость в классе \(H^{\Delta,1}_0(Q_T)\). Лекция 17 Видео
17.04.2020 Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе \(L_2(Q_T)\). Энергетическое соотношение. Разрешимость в энергетическом классе. Лекция 18 Видео

Конспект лекций

Вопросы к экзамену