Семинар 29 ноября

29 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Мешкова Юлия

Тема: Усреднение периодических гиперболических систем при учете корректора

Аннотация
Доклад относится к теории усреднения периодических дифференциальных операторов. Нас интересует аппроксимация решений гиперболических систем в пределе малого периода (с оценкой погрешности операторного типа). Приближение решений по \(L_2\)-норме (с операторной оценкой) получено М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной (2008). Наш основной результат — аппроксимация решения по энергетической норме при учете корректора. При этом приходится дополнительно предполагать, что начальное данное для решения нулевое (а для производной решения по времени — из класса Соболева \(H^2\)). Для доказательства используется спектральный подход к задачам усреднения, развитый М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной.

Семинар 22 ноября

22 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: О минимальных целых решениях одномерного разностного
уравнения Шредингера с потенциалом \(v(z)=e^{-2\pi iz}\)

Аннотация
Пусть \(z\in \mathbb C\) — комплексная переменная, а \(h\in(0,1)\) и
\(p\in\mathbb C\) — параметры. Рассматривается уравнение

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+e^{-2\pi iz}\psi(z)=2\cos(2\pi p)\psi(z).\]

Одномерные разностные уравнения с периодическими коэффициентами
возникают в разных областях физики и, в частности, в теории дифракции
и в физике твердого тела. Их богатые спектральные свойства привлекают
и математиков, и физиков.

Обсуждаемое уравнение интересно как разностное уравнение
Шредингера с простейшим комплексным периодическим потенциалом.
Кроме того, оно естественно возникает при построении целых решений
разностных уравнений Шредингера

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+\lambda v(z)\psi(z)=E\psi(z)\]

с потенциалом \(v\), являющимся нетривиальным тригонометрическим
полиномом, вещественным на вещественной оси, в случае малой константы
связи \(\lambda\) и/или большого по абсолютной величине спектрального
параметра \(E\)

Мы обсудим конструкцию и аналитические свойства целых решений
рассматриваемого уравнения, обладающих минимальным возможным
ростом одновременно при \(Im z\to\pm \infty\). В частности, будет показано,
что они удовлетворяют еще одному уравнению:

\[\psi(z+1)+\psi(z-1)+e^{-2\pi iz/h}\psi(z)=2\cos(2\pi p/h)\psi(z).\]

Семинар 8 ноября

8 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчики: Платонова М., Рядовкин К.

Тема: О моделях ветвящегося случайного блуждания.

Аннотация
Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания на решетке \(\mathbf{Z}^d\) с непрерывным временем и источниками ветвления, расположенными периодически на \(\mathbf{Z}^d\). Изучается асимптотическое поведение среднего числа частиц в произвольной точке решетки при \(t\to\infty\).

Семинар 25 октября

25 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Е.Л. Коротяев

Тема: Операторы Шредингера, периодические в октантах

Аннотация
В первой четверти плоскости рассматриваются операторы Шредингера с периодическими потенциалами и краевыми условиями Дирихле. Устанавливается, что для любого целого числа N и любого интервала A существует такой периодический потенциал, что у соответствующего оператора Шредингера на этом интервале спектр является дискретным и состоит из N собственных значений (с учетом кратности), а слева и справа от A есть существенный спектр.
Аналогичные результаты доказываются для операторов Шредингера в октантах произвольной размерности и в областях другой формы. Доказательство основано на теории обратной спектральной задачи для операторов Хилла на вещественной оси. Доклад основан на результатах, полученных совместно с Jacob Schach Moller, Denmark.

Семинар 18 октября

18 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А. Порецкий

Тема: О поведении волноводных матриц рассеяния в окрестности порогов

Аннотация
Волновод занимает d+1-мерную область с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность. Волновод описывается общей эллиптической краевой задачей со спектральным параметром \(\mu\), самосопряженной относительно формулы Грина. Коэффициенты задачи стабилизируются на бесконечности с экспоненциальной скоростью к функциям, не зависящим от аксиальной переменной соответствующего цилиндра. На каждом интервале непрерывного спектра между соседними «порогами» определяется унитарная матрица рассеяния \(S(\mu)\); размер матрицы \(S(\mu)\) конечен при каждом \(\mu\), остается постоянным на любом таком интервале и меняется от интервала к интервалу. Основной результат — доказательство существования конечных односторонних пределов матрицы \(S(\mu)\) на каждом пороге.

Семинар 11 октября

11 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: В. Э. Петров

Тема: Преобразования Фурье с произвольной фазой.

Аннотация
Рассматриваются интегральные уравнения 1 рода на полуоси, ядра которых являются линейной комбинацией sin- и cos-преобразований Фурье с переменными коэффициентами.
Рассматриваются случаи «внешних» и «внутренних» коэффициентов, определяется индекс задачи и выписывается явное решение для гельдеровых и кусочно-гельдеровых коэффициентов.

Технически уравнение сводится к скалярной задаче Римана-Карлемана на оси.

Получены также обобщения — уравнения с линейной комбинацией
функций Бесселя $J_0(xy),\ Y_0(xy),$
функции Бесселя $J_0(xy)$ и функции Струве $H_0(xy).$

Развитая техника позволяет точно (в квадратурах) решить общее уравнение 1 рода на полуоси с ядром, являющимся произвольной гармонической функцией в 1 квадранте.

Семинар 4 октября

4 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Федотов А.А.

Тема: Матрица монодромии для уравнения почти-Матье с малой константой связи

Аннотация
В рамках метода монодромизации — перенормировочного подхода, предложенного В.С.Буслаевым и А.А.Федотовым для анализа на вещественной оси разностных уравнений с периодическими коэффициентами, — исследуется оператор почти-Матье с малой константой связи. Описаны асимптотики первой матрицы монодромии и полученные с их помощью асимптотики последовательности спектральных лакун.

Семинар 27 сентября

27 сентября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Professor Dorje C. Brody, Brunel University London, Imperial College, London, UK

Тема: Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function

Аннотация
A Hamiltonian operator Hˆ is constructed with the property that if the eigenfunctions obey a suitable boundary condition, then the associated eigenvalues correspond to the nontrivial zeros of the Riemann zeta function. The classical limit of Hˆ is 2xp, which is consistent with the Berry-Keating conjecture. While Hˆ is not Hermitian in the conventional sense, iHˆ is PT symmetric with a broken PT symmetry, thus allowing for the possibility that all eigenvalues of Hˆ are real. A heuristic analysis is presented for the construction of the metric operator to define an inner-product space, on which the Hamiltonian is Hermitian. If the analysis presented here can be made rigorous to show that Hˆ is manifestly self-adjoint, then this implies that the Riemann hypothesis holds true.

Семинар 13 сентября

13 сентября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Н.В. Смородина

Тема: Вероятностная аппроксимация оператора эволюции

Аннотация
Будет рассказано об аппроксимации в смысле сильной операторной сходимости оператора \(e^{-itH}\), где \(H=-\frac{1}{2}\,\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\).
Потенциал \(V\) предполагается вещественным и ограниченным. Аппроксимирующие операторы имеют вид математических ожиданий функционалов от некоторого точечного случайного поля.

Щетка Екатерина

sch_n

email: shchetka.ekaterina@mail.rue.shchetka@spbu.ru

Curriculum vitae

Год поступления в аспирантуру: 2017.

Сотрудник Лаборатории Чебышева.

Научный руководитель: проф., д.ф.-м.н. А.А. Федотов.

 Научные интересы

  • спектральная теория почти-периодических операторов Шрёдингера;
  • асимптотический анализ;
  • аналитическая теория разностных уравнений на комплексной плоскости;
  • спектральная теория эргодических операторов Шрёдингера

Читать далее