Архив метки: Разностные уравнения

Семинар 12 сентября

12 сентября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Екатерина Щетка

Тема: Квазиклассические асимптотики спектра субкритического оператора Харпера (доклад основан на совместной работе с А.А. Федотовым).

Аннотация

Семинар 22 ноября

22 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: О минимальных целых решениях одномерного разностного
уравнения Шредингера с потенциалом \(v(z)=e^{-2\pi iz}\)

Аннотация
Пусть \(z\in \mathbb C\) — комплексная переменная, а \(h\in(0,1)\) и
\(p\in\mathbb C\) — параметры. Рассматривается уравнение

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+e^{-2\pi iz}\psi(z)=2\cos(2\pi p)\psi(z).\]

Одномерные разностные уравнения с периодическими коэффициентами
возникают в разных областях физики и, в частности, в теории дифракции
и в физике твердого тела. Их богатые спектральные свойства привлекают
и математиков, и физиков.

Обсуждаемое уравнение интересно как разностное уравнение
Шредингера с простейшим комплексным периодическим потенциалом.
Кроме того, оно естественно возникает при построении целых решений
разностных уравнений Шредингера

\[\psi(z+h)+\psi(z-h)+\lambda v(z)\psi(z)=E\psi(z)\]

с потенциалом \(v\), являющимся нетривиальным тригонометрическим
полиномом, вещественным на вещественной оси, в случае малой константы
связи \(\lambda\) и/или большого по абсолютной величине спектрального
параметра \(E\)

Мы обсудим конструкцию и аналитические свойства целых решений
рассматриваемого уравнения, обладающих минимальным возможным
ростом одновременно при \(Im z\to\pm \infty\). В частности, будет показано,
что они удовлетворяют еще одному уравнению:

\[\psi(z+1)+\psi(z-1)+e^{-2\pi iz/h}\psi(z)=2\cos(2\pi p/h)\psi(z).\]

Семинар 8 ноября

8 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчики: Платонова М., Рядовкин К.

Тема: О моделях ветвящегося случайного блуждания.

Аннотация
Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания на решетке \(\mathbf{Z}^d\) с непрерывным временем и источниками ветвления, расположенными периодически на \(\mathbf{Z}^d\). Изучается асимптотическое поведение среднего числа частиц в произвольной точке решетки при \(t\to\infty\).

Семинар 4 октября

4 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Федотов А.А.

Тема: Матрица монодромии для уравнения почти-Матье с малой константой связи

Аннотация
В рамках метода монодромизации — перенормировочного подхода, предложенного В.С.Буслаевым и А.А.Федотовым для анализа на вещественной оси разностных уравнений с периодическими коэффициентами, — исследуется оператор почти-Матье с малой константой связи. Описаны асимптотики первой матрицы монодромии и полученные с их помощью асимптотики последовательности спектральных лакун.

Ekaterina Shchetka

sch_n

email: shchetka.ekaterina@mail.rue.shchetka@spbu.ru

Curriculum vitae

PhD student since 2017.

I have a research position at the Chebyshev Laboratory.

Advisor: Prof. Dr. A. Fedotov

Research interests

  • spectral theory of almost periodic Schrodinger operators;
  • asymptotic analysis;
  • analytic theory of difference equations on the complex plane;
  • spectral theory of ergodic Schrodinger operators.

Preliminary PhD research proposal

Quasiclassical description of the geometric structure of the spectrum for almost Mathieu equation.

Publications

  1. A. Fedotov, E. Shchetka. Monodromy matrices for Harper equation. Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2018, pp. 4, St. Petersburg: IEEE;
  2. A. Fedotov and E. Shchetka. Complex WKB method for a difference Schrödinger equation with the potential being a trigonometric polynomial. St. Petersburg Math. J. 29 (2018), 363-381;
  3. A. Fedotov, E. Shchetka. Berry phase for difference equations. Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2017, pp. 113—116, St. Petersburg: IEEE;
  4. A.A. Fedotov, E.V. Shchetka. The complex WKB method for difference equations in bounded domains. J. Math. Sci. (2017) 224: 157—169;
  5. А.А. Федотов, Е.В. Щетка, Комплексный метод ВКБ для разностного уравнения Шрёдингера, потенциал которого — тригонометрический полином, Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 193–219;
  6. A. Fedotov, E. Shchetka. Complex WKB method for difference equations in unbounded domains. Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2016, pp. 140—143, St.Petersburg: IEEE;
  7. А. А. Федотов, Е. В. Щетка, Комплексный метод ВКБ для разностных уравнений в ограниченных областях. Зап. научн. сем. ПОМИ, 438, ПОМИ, СПб., 2015, 236–254.

Conferences

  • Conférence «Semi-classical and geometric asymptotics in mathematical physics»(Laboratoire CPT, Université de Toulon, France, 2018);
  • Annual International Conference «Days on Diffraction», (PDMI RAS, St.Petersburg, 2018);
  • St. Petersburg Young Researcher Conference in Probability Theory and Mathematical Physics, (PDMI RAS, St.Petersburg, 2017);
  • Annual International Conference «Days on Diffraction», (PDMI RAS, St.Petersburg, 2017);
  • A trilateral German-Russian-Ukrainian summer school «Spectral Theory, Differential Equations and Probability», (Johannes Gutenberg Universität, Mainz, Germany, 2016);
  • 8th St.Petersburg Conference in Spectral Theory, (Euler International Mathematical Institute, 2016);
  • Annual International Conference «Days on Diffraction», (PDMI RAS, St.Petersburg, 2016);
  • International Student Conference «Science and Progress», (St. Petersburg State University, 2015).

Additional information

  • Government Scholarship for Ph.D. students in priority areas of modernization and technological development of Russia (2018);
  • The winner of the competition for students and young researchers «Petropolitan Science (Re)Search» (2017);
  • Bocconi Institute of Data Science Award (Milan, Italy, 2017);
  • Deich scholarship for the best master’s thesis (2017);
  • St. Petersburg State University Alumni Association Scholarship (2016);
  • St. Petersburg Government Scholarship for high academic achievements (2016);
  • Rokhlin Grant for young mathematicians of St. Petersburg (2016);
  • The 2nd place winner of the August Möbius Competition (Moscow) (2015).

Семинар 3 мая

3 мая в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А.А. Федотов

Тема: Квазиклассические асимптотики функций Малюженца

Аннотация
Пусть \(h\) — фиксированное положительное число. Мы будем обсуждать решения уравнения
\[
\sigma(z+h)=(1+e^{-iz})\sigma(z-h),\qquad\qquad (1)
\]
на комплексной плоскости переменной \(z\). Это уравнение введено в рассмотрение в работе В.Буслаева и А.Федотова (2001), где изучались решения разностных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, интерес к которым возник в связи с задачами из физики твердого тела. Позже оказалось, что родственные уравнения возникали при исследовании разных аналитических задач. В теории дифракции хорошо известно уравнение Малюжинца \(\psi(z+h)=\cot(z/2+\pi/4)\psi(z-h)\). Его решения начали изучаться Малюжинцом в 1958 году. Родственные уравнения были введены и независимо изучались в работах Бобровникова и Фирсанова (1988), Фаддеева, Кашаева и Волкова (2001) и Ruigsenaars’a (2000). Решения всех этих уравнений связаны друг с другом простыми соотношениями, и мы ограничимся обсуждением (1). Мы опишем асимптотики решений этого уравнения при \(h\to0\). Поскольку формально \(f(x+h)=\exp(h\frac{d}{dx}) f(x)\), эти асимптотики естественно считать квазиклассическими.

Семинар 22 февраля

22 февраля в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Е.Л. Коротяев

Тема: Trace formulas for Schrodinger operators on lattice

Аннотация
We obtain new trace formulas and estimates for Schrodinger operators with complex potentials on lattice.

Семинар 18 мая

18 мая в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик М.А. Лялинов

Тема Функционально разностные уравнения в линейной задаче о вынужденных колебаниях жидкости в бесконечном бассейне с коническим дном

Аннотация
Исследуется модельная задача о стационарных вынужденных колебаниях жидкости малой амплитуды в поле силы тяжести в бесконечном бассейне с источниками, расположенными на коническом дне с просачиванием. Изучается классическое решение задачи в линейном приближении. С использованием преобразования Меллина и разложения по сферическим функциям задача сводится к совокупности систем функционально разностных уравнений с мероморфными коэффициентами, которые являются комбинациями присоединенных функций Лежандра и их производных.
Задача для системы функционально разностных уравнений редуцируется к сингулярным интегральным уравнениям. Для этого, в частности, вычисляется решение некоторых вспомогательных функциональных уравнений первого порядка с мероморфными коэффициентами. Показано, что система интегральных уравнений фредгольмова, имеет нулевой индекс.
При определенных предположениях классическое решение задачи существует и единственно. Получены оценки классического решения задачи в окрестности конической точки и на бесконечности.