Архив метки: Эллиптические краевые задачи

Семинар 13 декабря

13 декабря в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Н. Сеник

Тема: Об усреднении эллиптических локально периодических операторов

Аннотация
В докладе будет рассмотрена задача усреднения для матричного силь-
но эллиптического оператора Aε = −div A(x,x/ε) ∇ в пространстве Rᵈ.
Функция A предполагается периодической по второму аргументу, так
что при малых ε коэффициенты этого оператора быстро осциллируют.
Нас интересует, как ведет себя его резольвента в различных опера-
торных нормах, когда параметр ε стремится к 0. Ранее подобный воп-
рос изучался для случая липшицевых по первому аргументу функций A;
сейчас мы ослабим гладкость до гёльдеровой с показателем 0⩽s<1.

Семинар 29 ноября

29 ноября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Мешкова Юлия

Тема: Усреднение периодических гиперболических систем при учете корректора

Аннотация
Доклад относится к теории усреднения периодических дифференциальных операторов. Нас интересует аппроксимация решений гиперболических систем в пределе малого периода (с оценкой погрешности операторного типа). Приближение решений по \(L_2\)-норме (с операторной оценкой) получено М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной (2008). Наш основной результат — аппроксимация решения по энергетической норме при учете корректора. При этом приходится дополнительно предполагать, что начальное данное для решения нулевое (а для производной решения по времени — из класса Соболева \(H^2\)). Для доказательства используется спектральный подход к задачам усреднения, развитый М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной.

Семинар 18 октября

18 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: А. Порецкий

Тема: О поведении волноводных матриц рассеяния в окрестности порогов

Аннотация
Волновод занимает d+1-мерную область с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность. Волновод описывается общей эллиптической краевой задачей со спектральным параметром \(\mu\), самосопряженной относительно формулы Грина. Коэффициенты задачи стабилизируются на бесконечности с экспоненциальной скоростью к функциям, не зависящим от аксиальной переменной соответствующего цилиндра. На каждом интервале непрерывного спектра между соседними «порогами» определяется унитарная матрица рассеяния \(S(\mu)\); размер матрицы \(S(\mu)\) конечен при каждом \(\mu\), остается постоянным на любом таком интервале и меняется от интервала к интервалу. Основной результат — доказательство существования конечных односторонних пределов матрицы \(S(\mu)\) на каждом пороге.

Семинар 22 марта

22 марта в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: Никита Сеник

Тема: Об усреднении локально периодических сильно эллиптических операторов

Семинар 26 октября

26 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.
Докладчик: О.В. Сарафанов
Тема: Волноводы с цилиндрическими концами. Матрица рассеяния. Принцип излучения.

Семинар 19 октября

19 октября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.
 
Докладчик: Юлия Мешкова

Тема: Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптических и параболических систем.

Аннотация

Доклад основан на совместной с Суслиной Т. А. работе.
Изучается матричный эллиптический дифференциальный оператор \(B_\varepsilon\) второго порядка, действующий в ограниченной области при условии Дирихле на границе. Оператор \(B_\varepsilon\) самосопряженный и положительно определенный. Его коэффициенты периодические и зависят от \(x/\varepsilon\), \(0<\varepsilon\leqslant 1\). Т.о. при малых \(\varepsilon\) коэффициенты быстро осциллируют. Нас интересует поведение в пределе малого периода резольвенты оператора \(B_\varepsilon\). Для \((B_\varepsilon -\zeta I)^{-1}\) получены аппроксимации по \((L_2\rightarrow L_2)\)- и \((L_2\rightarrow H^1)\)-операторным нормам с двухпараметрическими (относительно \(\varepsilon\) и \(\zeta\)) оценками погрешности. Отслеживание в оценках зависимости от спектрального параметра позволяет получить аппроксимации операторной экспоненты \(\exp (-B_\varepsilon t)\), \(t>0\), как простое следствие. Операторные оценки применяются к усреднению решений эллиптических и параболических систем.

Семинар 21 сентября

21 сентября в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик: С.Б.  Колоницкий
Тема: О качественных свойствах решений краевых задач для эллиптических уравнений с суперлинейной правой частью (по совместной работе с В.Е. Бобковым)
Аннотация:
Рассматривается зависимость минимального нетривиального энергетического уровня функционала, соответствующего однородной задаче Дирихле для уравнения \(-\Delta_p u = f(u)\), в ограниченных областях под действием возмущений области. Выводится явная формула типа Адамара. В качестве приложения этой формулы доказывается, что для сферических слоев (в том числе и эксцентрических) минимальный нетривиальный энергетический уровень достигает максимального значения для концентрического случая. Как следствие мы получаем нерадиальность знакопеременного решения с минимальной энергией рассматриваемой краевой задачи в шаре.

Семинар 6 апреля

6 апреля в 18:00 состоится заседание семинара кафедры Высшей математики и математической физики, ПОМИ, ауд. 203.

Докладчик Д.В. Кориков
Тема «Асимптотика решений стационарной и нестационарной систем Максвелла в области с малыми отверстиями» (по совместной работе с Б.А. Пламеневским).
Аннотация
В ограниченной области с конечным числом малых отверстий при всех временах t∈R рассматривается нестационарная система уравнений Максвелла. Диаметры отверстий пропорциональны малому параметру ε. На границе области заданы условия идеальной проводимости или импедансные краевые условия. Выводится асимптотика решения при ε→0. Малые отверстия являются «сингулярными» возмущениями области: при ε→0 они переходят в выколотые точки. Представленная математическая модель описывает поведение электромагнитного поля внутри проводящего резонатора с включениями металлических частиц малых размеров. Такая модель может иметь приложения к диагностике плазмы, загрязненной металлическими частицами и заполняющей резонатор.Предварительно перед докладом Корикова будет дан обзор методов теории гиперболических краевых задач в областях с кусочно гладкой границей, использованных в работе. Этот обзор будет дан Б.А. Пламеневским.

Seminar, December 16

A meeting of the Higher mathematics and mathematical physics depatment seminar takes place in PDMI (aud. 106) on December 16 at 18:00.

Language of the meeting: Russian.

Доклад Никиты Сеника »Об усреднении несамосопряженного периодического эллиптического оператора в бесконечном цилиндре».